If the average of a natural number and its cube is 13 times the number, then the number is-

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, স্বাভাবিক সংখ্যাটি হলো \(x\)।

প্রশ্নমতে, সংখ্যাটির ঘন (cube) হলো \(x^3\)।

সংখ্যাটি এবং এর ঘনের গড় হলো:

\(\frac{x + x^3}{2}\)

প্রশ্ন অনুযায়ী, এই গড় সংখ্যাটির 13 গুণ। অর্থাৎ,

\(\frac{x + x^3}{2} = 13x\)

সমীকরণটি সমাধান করে \(x\) এর মান বের করি:

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

\(x + x^3 = 2 \times 13x\)

\(x + x^3 = 26x\)

সব পদ বাম দিকে নিয়ে আসি:

\(x^3 + x - 26x = 0\)

\(x^3 - 25x = 0\)

\(x\) কমন নিয়ে পাই:

\(x(x^2 - 25) = 0\)

এখানে দুটি সম্ভাব্য শর্ত রয়েছে:

১. \(x = 0\)

২. \(x^2 - 25 = 0\)

যদি \(x^2 - 25 = 0\) হয়, তবে

\(x^2 = 25\)

\(x = \pm\sqrt{25}\)

\(x = \pm 5\)

সুতরাং, \(x\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো \(0, -5, 5\)।

কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যাটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (natural number)। স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যেমন, 1, 2, 3, ...)।

অতএব, \(x = 5\) হলো একমাত্র গ্রহণযোগ্য সমাধান।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):

আমরা অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখতে পারি কোনটি প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে:

    
• যদি সংখ্যাটি 5 হয়:         
              
  • সংখ্যা = 5
              
  • সংখ্যাটির ঘন = \(5^3 = 125\)
              
  • সংখ্যা এবং এর ঘনের গড় = \(\frac{5 + 125}{2} = \frac{130}{2} = 65\)
              
  • সংখ্যাটির 13 গুণ = \(13 \times 5 = 65\)
          
          যেহেতু গড় এবং সংখ্যাটির 13 গুণ উভয়ই 65, তাই এই অপশনটি সঠিক। 5 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।     
    
• যদি সংখ্যাটি -5 হয়:         
              
  • -5 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, তাই এই অপশনটি সরাসরি বাতিল।
          
      
    
• যদি সংখ্যাটি 25 হয়:         
              
  • সংখ্যা = 25
              
  • সংখ্যাটির ঘন = \(25^3 = 15625\)
              
  • সংখ্যা এবং এর ঘনের গড় = \(\frac{25 + 15625}{2} = \frac{15650}{2} = 7825\)
              
  • সংখ্যাটির 13 গুণ = \(13 \times 25 = 325\)
          
          যেহেতু 7825 এবং 325 সমান নয়, তাই এই অপশনটি ভুল।     

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো 5।